При падении света на поверхность многих кристаллов наблюдается явление двойного лучепреломления: внутри кристалла луч разделяется на два, имеющие различные скорости и направления. У одноосных кристаллов (так называются кристаллы, у которых существует направление, называемое оптической осью, вдоль которого не происходит разделения на два луча) один из преломленных лучей - обыкновенный (о ) - подчиняется обычным законам преломления, другой - необыкновенный (е ) - не подчиняется. В частности, необыкновенный луч не лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к преломляющей поверхности. Установлено, что оба луча (о и е ) полностью поляризованы в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис.69). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна главному сечению кристалла (так называется любая плоскость, проходящая через оптическую ось), а необыкновенного - совпадает с ним. Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов, диэлектрическая проницаемость которых зависит от направления, изменяясь от e || до e ^ ; e || и e ^ - диэлектрическая проницаемость кристалла в параллельном оптической оси направлении и в перпендикулярном соответственно. Так как n 2 =e и n=с /v , следовательно, в этих направлениях будут различаться и скорости распространения света. Таким образом, волнам с различными по отношению к оптической оси направлениями колебаний вектора Е соответствует различная скорость распространения.
Рассмотрим три из возможных направлений распространения обыкновенного луча - a , b и с (рис.70) в одноосном кристалле. В каждом из них вектор Е направлен перпендикулярно оптической оси кристалла (точки), поэтому скорости распространения будут одинаковы . Изображая величину скорости отрезками, отложенными по разным направлениям, можно получить сферу (круг в сечении плоскостью чертежа). Эта сфера является волновой поверхностью обыкновенных лучей для источника, расположенного в точке 0. Для тех же трех направлений в необыкновенном луче вектор Е (стрелки) образует разные углы a c оптической осью: p/2 - для луча а (его скорость ); a =0 для луча b (его скорость ). Для луча с скорость имеет промежуточное значение. Можно доказать, что волновая поверхность необыкновенных лучей представляет собой эллипсоид.
Таким образом, одноосные кристаллы характеризуются двумя показателями преломления: n 0 =c/v 0 и n e =c/v e . В зависимости от того, какая из скоростей больше, различают положительные (v e <v 0 ) и отрицательные (v e >v 0 ) одноосные кристаллы.
Интерференция поляризованных лучей. При наложении двух когерентных, но поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях лучей интерференционной картины получиться не может. Интерференция возникает только тогда, когда складываются однонаправленные колебания.
Рассмотрим наложение обыкновенного и необыкновенного лучей, вышедших из кристаллической пластинки, вырезанной параллельно оптической оси (рис.71а ). При падении луча перпендикулярно к пластинке обыкновенный и необыкновенный лучи пойдут не разделяясь, но с различными скоростями. На выходе из пластинки между ними возникнет разность хода
D = (n o - n e ) d (203)
и разность фаз
| Рис.71 |
| а |
| б |
где d - толщина пластинки, l 0 - длина волны в вакууме. При этом выходящие лучи будут поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Поставим на пути этих лучей поляризатор, после прохождения которого колебания обоих лучей будут лежать в одной плоскости (рис.71,б ). Однако они все равно не будут интерферировать. Дело в том, что естественный свет представляет собой множество беспорядочно сменяющих друг друга цугов волн, испускаемых отдельными атомами. Обыкновенный луч происходит из цугов с близкими направлениями плоскостей колебаний, а необыкновенный - из цугов с перпендикулярными этому направлению плоскостями. Поскольку отдельные цуги некогерентны, то и лучи должны быть некогерентны.
Если на пластинку падает плоскополяризованный свет, то колебания каждого цуга раскладываются между обыкновенным и необыкновенным лучами в определенной пропорции, зависящей от ориентации оптической оси пластинки и плоскости колебаний в падающем луче. Возникая из одного цуга, соответствующие доли в обыкновенном и необыкновенном лучах оказываются когерентными и будут интерферировать.
Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для которой
D = (n o - n e ) d = ml o + l o / 4,
называется пластинкой в четверть волны. Если D = (n o - n e )d=ml o +l o / 2, то такая пластинка называется пластинкой в полволны. При прохождении пластинки в четверть волны обыкновенный и необыкновенный лучи приобретают разность фаз p/ 2, в полволны - p .
| Рис.72 Рис.73 |
Рассмотрим прохождение света через пластинку в полволны. Колебание вектора Е при входе в кристалл разделится на колебания Е o и Е e - обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно (рис.72). За время прохождения пластинки разность фаз между колебаниями Е 0 и Е e изменится на p . Поэтому свет, поляризованный на входе в плоскости Р, на выходе будет поляризован в плоскости Р" . Плоскости Р и Р" расположены симметрично относительно оптической оси пластины О . Таким образом, пластинка в полволны поворачивает плоскость колебаний на угол 2j , где j - угол между плоскостью колебаний в падающем луче и осью пластинки.
Пропустим плоскополяризованный свет через пластинку в четверть волны (рис.73). Если плоскость колебаний в падающем луче составляет угол 45° с осью пластинки, амплитуды обоих лучей на выходе будут одинаковы. Сдвиг фаз составит p/2 . Следовательно, вышедший свет будет поляризован по кругу. При ином значении угла j амплитуды вышедших лучей будут разными, поэтому при наложении колебаний эти лучи дадут свет, поляризованный по эллипсу, одна из осей которого совпадает с осью пластинки.
При пропускании плоскополяризованного света через пластинку другой толщины из нее выйдут две когерентные, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях волны, разность фаз которых отличается от p/2 и p . Поэтому на выходе получится эллиптически поляризованный свет, причем ни одна из осей эллипса не будет совпадать с осью пластинки.
Если на пути эллиптически поляризованного света поставить пластинку в четверть длины волны, расположив ее оптической осью вдоль одной из осей эллипса, то пластинка внесет дополнительную разность фаз, равную p/2 . В результате разность фаз двух плоскополяризованных волн, дающих в сумме эллиптически поляризованную волну, станет равной нулю или p, так что на выходе будет получена плоскополяризованная волна. Следовательно, надлежащим образом повернутая пластинка в четверть волны превращает эллиптически поляризованный свет в плоско-поляризованный. Это позволяет различать виды поляризации света. Например, исследуемый свет пропускается через пластинку в четверть волны и затем через поляризатор. Если исследуемый свет является эллиптически поляризованным, то, вращая пластинку и поляризатор вокруг направления луча, удается добиться полного затемнения поля зрения. Если свет является только частично поляризованным или неполяризованным, то погашения достичь не удается ни при каком взаимном положении пластинки и поляризатора.
| Рис.74 |
Кристаллическая пластинка между двумя поляризаторами. Поместим между поляризаторами Р и Р" пластинку из одноосного кристалла, вырезанную параллельно оптической оси О (рис.74) Из поляризатора Р выйдет плоскополяризованный свет интенсивности J . После прохождения пластинки свет станет в общем случае эллиптически поляризованным. После прохождения поляризатора Р" (его в этом случае называют анализатором ), свет снова станет плоскополяризованным. Его интенсивность J" зависит от взаимной ориентации плоскостей поляризаторов и разности фаз, приобретаемой при прохождении пластинки.
Пусть угол j между плоскостью поляризатора Р и осью пластинки О равен p/4 . Рассмотрим два частных случая: поляризаторы параллельны (рис.75) и скрещены (рис.76). После поляризатора Р вектор Е лежит в плоскости Р . При входе в пластинку вектор Е разложится на два когерентных колебания: Е о - перпендикулярное и Е e - параллельное оси. Амплитуды этих колебаний одинаковы и равны
E o = E e = E cos (p/4 ) = E/ ,
где Е - амплитуда волны, вышедшей из первого поляризатора. Через второй поляризатор пройдут составляющие колебаний Е 0 и Е e в направлении плоскости Р" . Амплитуды этих составляющих равны амплитудам Е 0 и Е e , умноженным на cos (p/ 4), т.е.
| Рис.75 Рис.76 |
Если поляризаторы параллельны, то разность фаз после поляризатора Р" равна d - разности фаз, приобретенной после прохождения пластинки. Если поляризаторы скрещены, то проекции векторов Е 0 и Е e на направление Р" будут иметь разные знаки, следовательно, в дополнение к d возникает еще разность фаз, равная p. После второго поляризатора волны будут интерферировать. В случае параллельных поляризаторов амплитуда результирующей волны
А в случае скрещенных -
Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому
Здесь и - интенсивности света после второго поляризатора для параллельного и перпендикулярного их взаимного расположения соответственно; J - интенсивность света после первого поляризатора. Нетрудно видеть, что
Таким образом, интенсивность распределяется без потерь.
При наложении двух когерентных лучей, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях, никакой интерференционной картины, с характерным для нее чередованием максимумов и минимумов интенсивности, не наблюдается. Интерференция возникает только в том случае, если колебания во взаимодействующих лучах совершаются вдоль одного и того же направления. Направления колебаний в двух лучах, первоначально поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях, можно свести в одну плоскость, пропустив эти лучи через поляризационное устройство, установленное так, чтобы его плоскость не совпадала с плоскостью колебаний ни одного из лучей.
Рассмотрим, что получается при наложении вышедших из кристаллической пластинки обыкновенного и необыкновенного лучей. При нормальном падении света
на параллельную оптической оси грань кристалла обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь, но с различной скоростью. В связи с этим между ними возникает разность хода
или разность фаз
где d – путь, пройденный лучами в кристалле, λ 0 – длина волны в вакууме [см. формулы (17.3) и (17.4)].
Таким образом, если пропустить естественный свет через вырезанную параллельно оптической оси кристаллическую пластинку толщины d (рис. 12l,a), из пластинки выйдут два поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях луча1 и2 1 , между которыми будет существовать разность фаз (31.2). Поставим на пути этих лучей какой-нибудь поляризатор, например поляроид или николь. Колебания обоих лучей после прохождения через поляризатор будут лежать в одной плоскости. Амплитуды их будут равны составляющим амплитуд лучей1 и2 в направлении плоскости поляризатора (рис. 121, б).
Поскольку оба луча получены разделением света, полученного от одного источника, они, казалось бы, должны интерферировать, и при толщине кристалла d такой, что возникающая между лучами разность хода (31.1) равна, например, λ 0 /2, интенсивность выходящих из поляризатора лучей (при определенной ориентации плоскости поляризатора) должна быть равна нулю.
Опыт, однако, показывает, что, если лучи 1 и2 возникают за счет прохождения через кристалл естественного света, они не дают интерференции, т. е. не являются когерентными. Это объясняется весьма просто. Хотя обыкновенный и необыкновенный лучи порождены одним и тем же источником света, они содержат в основном колебания, принадлежащие разным цугам волн, испускаемых отдельными атомами. Колебания, соответствующие одному такому цугу волн, совершаются в случайно ориентированной плоскости. В обыкновенном луче колебания обусловлены преимущественно цугами, плоскости колебаний которых близки к одному направлению в пространстве, в необыкновенном луче – цугами, плоскости колебаний которых близки к другому, перпендикулярному к первому направлению. Поскольку отдельные цуги некогерентны, возникающие из естественного света обыкновенный и необыкновенный лучи, а, следовательно, и лучи1 и2 , также оказываются некогерентными.
Иначе обстоит дело, если на кристаллическую пластинку, изображенную на рис. 121, падает плоскополяризованный свет. В этом случае колебания каждого цуга разделяются между обыкновенным и необыкновенным лучами в одной и той же пропорции (зависящей от ориентации оптической оси пластинки относительно плоскости колебаний в падающем луче), так что лучи о ие , а, следовательно, и лучи1 и2 , оказываются когерентными.
Две когерентные плоско-поляризованные световые волны, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны, при наложении друг на друга дают, вообще говоря, эллиптически поляризованный свет. В частном случае может получиться свет, поляризованный по кругу, или плоскополяризованный свет. Какая из этих трех возможностей имеет место, зависит от толщины кристаллической пластинки и показателей преломления n e иn о, а также от соотношения амплитуд лучей1 и2 .
Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для которой (n о –n e)d = λ 0 /4, называетсяпластинкой в четверть волны ; пластинка, для которой, (n о –n e)d = λ 0 /2 называетсяпластинкой в полволны и т. д. 1 .
лучей будут неодинаковыми. Поэтому при наложении эти лучи образуют свет, поляризованный по эллипсу, одна из осей которого совпадает по направлению с осью пластинки O . Приφ, равном 0 или/2, в пластинке будет
14-я лекция. Дисперсия света.
Элементарная теория дисперсии. Комплексная диэлектрическая проницаемость вещества. Кривые дисперсии и поглощение света в веществе.
Волновой пакет. Групповая скорость.
Основы кристаллооптики.
Интерференция поляризованного света.
Цель работы: изучение распространения электромагнитных волн
В анизотропных средах; наблюдение интерференции
Поляризованного света и измерение оптической
Анизотропии кристалла кварца.
Введение.
Для анизотропного диэлектрика становится неверной простая зависимость D = εE, которой пользуются при описании любой изотропной среды.
В случае прохождения электромагнитной волны через анизотропную среду связь между D и Е задается более сложным соотношением
Эти уравнения можно переписать в более компактной форме
Девять величин являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости, следовательно, вектор D равен произведению этого тензора на вектор Е.
Решения уравнений Максвелла в этом случае показывают, что тензор диэлектрической проницаемости должен быть симметричным, т.е. ε kl = ε lk .
Для любого кристалла можно найти три главных направления и связать их с координатными осями x, y, z. В этом случае тензор диэлектрической проницаемости примет диагональный вид и связь D и Е упростится
В выбранных таким образом координатах x, y, z выполняется соотношение
Это есть уравнение некого эллипсоида. Его называют эллипсоидом Френеля. Используя равенство ε = n 2 , уравнение можно записать в виде
Полученное уравнение есть уравнение поверхности, называемой оптической индикатрисой. В общем случае это трехосный эллипсоид.
z
Оптическая индикатриса обладает следующим важным свойством. Если из её центра провести прямую 0Р вдоль распространения волнового фронта, то центральное сечение, перпендикулярное этому направлению будет эллипсом, длины полуосей которого являются показателями преломления волн, распространяющихся в направлении 0Р.
Пусть в общем случае n x ≠ n y ≠ n z . В кристаллофизике их принято обозначать n g , n m , n p , где n g - наибольший, а n p - наименьший показатель преломления. В этом случае в индикатрисе найдутся два симметричных направления, в которых сечения будут круговыми. Эти направления будут лежать в плоскости n g , n p . В этих направлениях n = const. и кристалл будет вести себя как изотропная среда. Эти направления называют оптическими осями. А такие кристаллы называют двуосными. К ним относятся кристаллы триклинной, моноклинной и ромбической сингоний.
Если n m = n p = n o , a n g = n e , то трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения. Показатель преломления n o называют обыкновенным, n e - необыкновенным. У эллипсоида вращения, индикатрисы такого кристалла только одно круговое сечение, поэтому их называют одноосными.
Если n e > n o , то кристалл называют оптически положительным . Если n e оптически отрицательным. У оптически положительного кристалла индикатриса вытянута вдоль оптической оси, а у отрицательного сплюснута.
Для более четкого понимания прохождения света через кристаллы вводят еще ряд поверхностей, которые описывают оптические свойства кристаллов. Если в качестве главных полуосей использовать отрезки, равные V x , V y , V z , то получается поверхность, описываемая в декартовой системе координат уравнением
Её называют эллипсоидом Френеля.
Проанализируем несколько случаев прохождения света через одноосный
z
E z n e E " z
кристалл. Пусть вектор Е в падающей волне направлен вдоль оси Z, тогда для падающей волны, распространяющейся вдоль оси Х (рис. 2)
.
Внутри кристалла, если его оптическая ось параллельна оси Z, будет распространятся волна
, где V " x = c/n e .
Совершенно аналогичные рассуждения нас приведут к случаю, если Е || Y, т.е. после выхода из кристалла свет имеет плоскую поляризацию параллельную соответствующей оси.
Пусть теперь вектор Е в падающем луче лежит в плоскости YZ и составляет угол α с осью Z (рис. 3).
Разложим Е на составляющий E z и E y , тогда в кристалле будут распространяться две волны со взаимно перпендикулярными колебаниями векторов Е. Они будут иметь разные скорости
В зависимости от толщины кристалла между E " z и E " y возникнет разность фаз δ и следовательно на выходе в общем случае получится эллиптически поляризованная волна.
Рассмотрим более общий случай, когда естественный свет падает на границу раздела двух сред под произвольным углом и произвольной ориентацией вектора Е (рис. 4). Сориентируем оси системы координат, главные оси кристалла и световую волну так, что n e || Z, n o || X, тогда рассматриваемый случай будет плоским.
E z z
Заменив естественную волну двумя плоскими волнами Е z и Е y , получим
.
Так как n e ≠ n o , то φ 1 ≠ φ 2 , следовательно в кристалле будут распространяться две разные волны со взаимно перпендикулярными векторами Е в различных направлениях. Впервые это явление открыл Эразм Бартолини, а объяснил его с волновых позиций Гюйгенс. Оно было названо двойным лучепреломлением.
Двойное лучепреломление наглядно иллюстрируют построения Гюйгенса. Пусть на границу раздела двух сред (воздух - кристалл) падает плоская волна. Если кристалл одноосный и оптически положительный, а оптическая ось параллельна границе раздела сред, то распространение света в кристалле можно изобразить поверхностями Френеля. Они описываются концом вектора скорости обыкновенной и необыкновенной волн.
Воздух
Кристалл n o n e
В нашем случае распространение обыкновенной волны описывается сферой, а необыкновенной эллипсоидом вращения с полуосями V o и V e . На рис. 5 представлены построения Гюйгенса, которые показывают, что в кристалле будут распространяться две волны "обыкновенная n o " и "необыкновенная n е " по разным направлениям.
Световые волны, проходя через кристаллы, проявляют интерференцию. Эти явления очень красочны и информативны. По интерференционной окраске кристаллов можно судить об осности кристаллов, ориентации оптических осей, анизотропии показателя преломления.
Кристаллы наблюдают в поляризованном ортоскопическом и коноскопическом свете.
Рассмотрим прохождение поляризованного света через одноосный оптически положительный кристалл. Световые волны падают на поверхность кристалла перпендикулярно его поверхности и оптической оси. Вектор напряженности электрического поля Е световой волны составляет угол α с оптической осью (рис. 6). Плоскополяризованная волна в кристалле разлагается на две волны одинаковой частоты обыкновенную Е о и
Оптическая ось
z
Необыкновенную Е е.
Пройдя через толщу кристалла, эти волны приобретут разность хода 
или разность фаз 
. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний с разными амплитудами и разными фазами дадут нам новую волну с той же частотой. Координата вектора Е по осям х и z будет изменяться по закону
или 
Чтобы получить траекторию результирующего колебания, следует из этих уравнений исключить время t. Представим Х в следующем виде
Или 
Возведем последнее выражение в квадрат, а уравнение Z = E e cosωt умножив
Обе части на sin φ и также возведя в квадрат, сложим с предыдущим.
И окончательно получим:
.
Это уравнение эллипса. Форма эллипса зависит от его полуосей и величин α и φ.
Таким образом, после прохождения линейнополяризованного света через кристаллическую пластинку, получаем световую волну, конец вектора Е которой, описывает кривую с эллиптическим торцевым профилем. Такой свет называют эллиптически поляризованным.
Рассмотрим несколько частных случаев.
Толщина кристаллической пластинки такова, что
В таком случае 
Это уравнение эллипса ориентированного относительно главных осей. Величины Е о и Е е зависят от угла ориентации плоскости поляризации падающей волны относительно оптической оси кристалла "α". В частности, если α = 45 о, то Е о = Е е, и тогда эллипс обращается в круг
.
При таком типе поляризации конец вектора Е описывает окружность. Такую поляризацию именуют циркулярной поляризацией.
Пусть теперь толщина кристаллической пластинки такова, что разность хода двух волн составляет
В этом случае 
, а уравнение эллипса преобразуется к виду:
.
Это есть прямая, но повернутая на угол α относительно оптической оси кристалла, симметрично плоскости поляризации падающей волны.
Выходящая из такого кристалла световая волна имеет плоскую поляризацию.
И, наконец, пусть кристаллическая пластинка имеет толщину кратную одной длине волны.
Уравнение эллипса примет вид: 
. Это есть прямая, которая имеет ориентацию вектора Е такой же, как и в падающей плоскополяризованной волне. Выходящий из кристалла свет плоскополяризован.
Если на пути луча, вышедшего из кристалла, поставить поляризатор, то он вырежет волны одной поляризации. Световые волны, имеющие колебания в одной плоскости, могут интерферировать. Явление интерференции поляризованного света широко применяется при исследовании анизотропных сред. Поэтому рассмотрим этот случай интерференции подробно.
На пути параллельного пучка естественного света поставим поляризатор, который пропускает плоскополяризованную волну. Этот свет падает на кристалл так, что оптическая ось кристалла составляет угол α с плоскостью поляризации поляризатора. Из кристалла выходят две волны со взаимной перпендикулярной ориентацией плоскости поляризации и, накопившейся в кристалле, разностью хода. На их пути помещаем второй поляризатор, выполняющий функцию анализатора. Ψ - угол между плоскостью поляризации поляризатора и анализатора. Анализатор пропускает только те составляющие колебаний электрического поля световой волны, которые параллельны плоскости поляризации анализатора. После анализатора две прошедшие волны интерферируют, так как они когерентны, ибо порождены одной, падающей на кристалл, волной. На рисунке 6 графически представлен процесс прохождения света через систему поляризатор - кристалл - анализатор (вид вдоль светового луча).
Ψ Р
Обозначим обыкновенную и необыкновенную волны, вышедшие из кристалла как
Тогда световые волны, вышедшие из анализатора, примут вид
Покидая кристаллическую пластинку, необыкновенная и обыкновенная волны будут различаться по фазе
.
Процесс интерференция описывается соотношением
Учитывая, что I = E 2 и проведя соответствующие подстановки, получим следующее выражение
Рассмотрим ряд частных случаев.
Кристалл в системе отсутствует, т.е. δ = 0. В этом случае формула 1 примет вид
, а это есть выражение закона Малюса.При изменении угла Ψ от нуля до 360 о свет два раза погасает при скрещенной ориентации плоскостей поляризации поляризатора и анализатора и два раза проходит при параллельной их ориентации.
2. Система с кристаллом и поляризаторы (николи) параллельны Ψ = 0. Формула 1 примет вид
.
При α = 0, π/2, π, … максимальное пропускание света. При α = π/4, 3/4π, … интенсивность и окраска прошедшего света зависит от разности фаз δ.
3. Анализатор и поляризатор (николи) скрещены. Наиболее информативное состояние системы Ψ = 90 о.
В зависимости от δ возможно наблюдение максимумов и минимумов интерференции поляризованного света для соответствующих длин волн. Это проявляется в так называемой интерференционной окраске кристаллов. При α = 0, π/2, π, … отсутствует либо обыкновенная волна, либо необыкновенная волна, а это приводит к обнулению δ и к погасанию проходящего через систему света.
Наилучшим условием наблюдения интерференции поляризованного света является диагональное положение оптической оси кристалла при скрещенных николях. В таблице 1 приведены интерференционные цвета кристаллических пластинок в функции разности хода Δ = d(n e - n o).
Таблица 1
| Порядок цвета | Разность хода в мμ | Цвет при скрещенных Николях | Цвет при параллельных николях |
| 1 | 0 | черный Оранжевый Красный 1 | белый Светло-желтый Фиолетовый Светло-зеленый |
| 2 | 575 | фиолетовый Желто-зеленый Оранжевый Красный 2 | желто-зеленый Оранжевый Фиолетовый Голубой Зеленый |
| 3 | 1130 | фиолетовый Аквамариновый Желто-зеленый Мясо-красный Красный 3 Светло-фиолетовый | желто-зеленый Фиолетовый аквамариновый Светло-желто-зеленый |
| 4 | 1710 | светло-зеленый Светло-серый Розовый | розовый Светло-серый Светло-красный |
Если через систему поляризатор - кристалл (в диагональном положении) - анализатор (в скрещенном положении) пропустить белый свет, а затем разложить его в спектр, то на фоне сплошного спектра будут наблюдаться темные полосы - канавчатый спектр. Для этих длин волн, середин темных полос, выполняется условие минимумов интерференции d(n e - n o) = (2k+1)λ/2. Если измерить длины волн λ k , соответствующие темным полосам, и построить график k (1/λ k), то тангенс угла наклона линии графика даст величину оптической разности хода Δnd. Зная толщину кристалла d, легко найти удельное двойное лучепреломление.
Описание экспериментальной установки.
Работа проводится при помощи монохроматора УМ-2, на рельс Р которого устанавливается поочередно ртутная лампа Рл для градуировки монохроматора и система Ин для наблюдения интерференции. Блок схема экспериментальной установки приведена на рис. 7. В первой части работы свет от ртутной лампы Рл линзой Л фокусируется на входную щель монохроматора М . Далее свет разлагается призмой монохроматора в спектр и объективом зрительной трубы входная щель фокусируется в фокальную плоскость окуляра О . Спектр ртутной лампы наблюдается через окуляр.
М Л Рл
О Л А К П Л Лн
При работе с монохроматором сначала следует навести на резкость окуляр, добившись четкого изображения указателя. Затем вращают винт В перемещения объектива коллиматора с тем, чтобы добиться четкости изображения спектральной линии в плоскости указателя.
Следующим этапом экспериментальной работы является процесс градуировки шкалы барабана Б , на котором нанесена шкала в градусной мере. Поэтому необходима градуировочная кривая для перевода градусной меры в длины волн. Это осуществляется следующим образом. При помощи барабана указатель совмещается с определенной линией спектра. Затем считываются показания барабана и данные по этой паре значений (длина волны - показания барабана) заносятся в таблицу 2. Длины волн спектральных линий для ртутной лампы приведены в той же таблице.
Таблица 2.
| № | Наименование Линии спектра | Длина волны В нм. | Показания барабана |
| 1 | Оранжевая | 612,3 | |
| 2 | Желтая двойная | 579,0 | |
| 3 | Зеленая 1 | 564,0 | |
| 4 | Зеленая 2 | 491,6 | |
| 5 | Синяя | 435,8 | |
| 6 | Фиолетовая | 410,8 |
Вторая часть работы проводится на системе Ин (рис. 7), которая устанавливается вместо ртутной лампы на рельсе монохроматора. Свет от лампы накаливания Лн проходит через поляризатор П , кристалл К , анализатор А и линзу, которая фокусирует свет от лампы на щель монохроматора. Необходимым условием получения отчетливой интерференционной картины (канавчатого спектра) является скрещенное положение поляризатора и анализатора и диагональное положение оптической оси кристалла. В поле зрения окуляра наблюдается канавчатый спектр, т.е. на фоне сплошного спектра погашена часть длин волн, для которых выполняется условия минимумов интерференции.
Измерения и обработка результатов.
Задание 1. Градуировка монохроматора по спектру ртути.
Познакомится с устройством монохроматора по заводской инструкции. Включить ртутную лампу, прогреть около 10 минут и сфокусировать линзой дугу лампы на входную щель монохроматора.
Наблюдая в окуляре спектр ртути, навести барабаном указатель на оранжевую линию спектра. Считать показания барабана в градусной мере и занести в соответствующую ячейку таблицы 2. Провести аналогичные измерения для остальных спектральных линий. Используя графический редактор Advanced Grapher 1.6, построить график зависимости длины волны от показаний барабана и аппроксимировать полученную кривую степенным полиномом.
Задание 2. Наблюдение канавчатого спектра и измерение
его параметров.
Заменить ртутную лампу лампой накаливания и системой поляризатор - кристалл - анализатор. Перемещением линзы Л , сфокусировать нить накала лампы на щель монохроматора. В окуляре монохроматора наблюдать канавчатый спектр.
Измерить положение 10 темных линий на сплошном спектре излучения лампы. Результаты измерений записать в таблицу 3.
Используя градуировочный график, перевести показания барабана в соответствующие длины волн.
Используя ту же компьютерную программу построить график k (1/λ k), аппроксимировать его прямой и определить производную. По результатам компьютерной обработки рассчитать удельную анизотропию показателя преломления кристалла кварца и сравнить её с табличными данными.
Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука. 1976.
Гершензон Е.М., Малова Н.Н. Лабораторный практикум по общей физике. М.: Просвещение, 1985.
Шубников А.В. Основы оптической кристаллографии. М.: Изд. АН СССР, 1958.
Стойбер Р., Морзе С. Определение кристаллов под микроскопом. М.: Мир. 1974.
При наложении двух когерентных лучей, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях, никакой интерференционной картины, с характерным для нее чередованием максимумов и минимумов интенсивности, получиться не может. Интерференция возникает только в том случае, если колебания во взаимодействующих лучах совершаются вдоль одного и того же направления. Колебания в двух лучах, первоначально поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях, можно свести в одну плоскость, пропустив эти лучи через поляризатор, установленный так, чтобы его плоскость не совпадала с плоскостью колебаний ни одного из лучей.
Рассмотрим, что получается при наложении вышедших из кристаллической пластинки обыкновенного и необыкновенного лучей. Пусть пластинка вырезана параллельно оптической оси (рис. 137.1). При нормальном падении света на пластинку обыкновенный и необыкновенный лучи будут распространяться не разделяясь, но с различной скоростью (см. рис. 136.5, в). За время прохождения через пластинку между лучами возникнет разность хода
(137.1)
или разность фаз
(137.2)
Толщина пластинки, - длина волны в вакууме).
Таким образом, если пропустить естественный свет через вырезанную параллельно оптической оси кристаллическую пластинку (рис. 137.1, а), из пластинки выйдут два поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях луча между которыми будет существовать разность фаз, определяемая формулой (137.2). Поставим на пути этих лучей поляризатор. Колебания обоих лучей после прохождения через поляризатор будут лежать в одной плоскости.
Амплитуды их будут равны составляющим амплитуд лучей 1 и 2 в направлении плоскости поляризатора (рис. 137.1,б).
Вышедшие из поляризатора лучи возникают в результате разделения света, полученного от одного источника. Поэтому они, казалось бы, должны интерферировать. Однако если лучи У и 2 возникают за счет прохождения через пластинку естественного света, они не дают интерференции. Это объясняется весьма просто. Хотя обыкновенный и необыкновенный лучи порождены одним и тем же источником света, они содержат в основном колебания, принадлежащие разным цугам волн, испускаемых отдельными атомами. В обыкновенном луче колебания обусловлены преимущественно цугами, плоскости колебаний которых близки к одному направлению в пространстве, в необыкновенном луче - цугами, плоскости колебаний которых близки к другому, перпендикулярному к первому направлению. Поскольку отдельные цуги некогерентны, возникающие из естественного света обыкновенный и необыкновенный лучи, а следовательно и лучи 1 и 2, также оказываются некогерентными.
Иначе обстоит дело, если на кристаллическую пластинку падает плоскополяризованный свет. В этом случае колебания каждого цуга разделяются между обыкновенным и необыкновенным лучами в одинаковой пропорции (зависящей от ориентации оптической оси пластинки относительно плоскости колебаний в падающем луче). Поэтому лучи , а следовательно и лучи 1 и 2, оказываются когерентными и будут интерферировать.
Обычная схема для наблюдения интерференции в параллельных лучах состоит (рис. 10) из поляризатора , кристалла , и анализатора . Разберем для простоты случай, когда ось кристалла перпендикулярна к лучу. Тогда плоскополяризованный луч, вышедший из поляризатора в кристалле разделится на два когерентных луча, поляризованных во взаимно-перпендикулярных плоскостях и идущих по одному направлению, но с разными скоростями.
Рис. 10. Схема установки для наблюдения интерференции в параллельных лучах.
Наибольший интерес представляют две ориентации главных плоскостей анализатора и поляризатора: 1) взаимно-перпендикулярные главные плоскости (скрещенные); 2) параллельные главные плоскости.
Рассмотрим сначала скрещенные анализатор и поляризатор.
На рис. 11 означает плоскость колебаний луча, прошедшего через поляризатор; -его амплитуда; -направление оптической оси кристалла; перпендикуляр к оси; - главная плоскость анализатора.
Рис. 11. К расчету интерференции поляризованного света.
Кристалл как бы разлагает колебания по осям и на два колебания и , т. е. на необыкновенный и обыкновенный лучи. Амплитуда необыкновенного луча связана с амплитудой, и углом следующим образом:
Амплитуда обыкновенного луча
Сквозь анализатор пройдут лишь проекция на равная
и проекция X на то же направление
Таким образом, мы получаем два колебания, поляризованных в одной плоскости, с равными, но противоположно направленными амплитудами. Сложение двух таких колебаний дает нуль, т. е. получается темнота, что соответствует обычному случаю скрещенных поляризатора и анализатора. Если же учесть, что между двумя лучами ввиду различия их скоростей в кристалле появилась дополнительная разность фаз, которую мы обозначим через , то квадрат результирующей амплитуды выразится следующим образом:
т. е. сквозь комбинацию из двух скрещенных николей проходит свет, если между ними вставить кристаллическую пластинку. Очевидно, что количество прошедшего света зависит от величины разности фаз связанной со свойствами кристалла, его двойным лучепреломлением и толщиной. Только в случае или получится полная темнота независимо от кристалла (это соответствует случаю, когда ось кристалла перпендикулярна или параллельна главной плоскости николя). Тогда через кристалл идет только один луч - или обыкновенный, или необыкновенный.
Разность фаз зависит от длины световой волны. Пусть толщина пластинки есть ; длина волны (в пустоте) ; показатели преломления и . Тогда:
(22)
Здесь длина волны обыкновенного луча, а - длина волны необыкновенного луча в кристалле. Чем больше толщина кристалла и чем больше разность между и тем больше . С другой стороны , обратно пропорциональна длине волны Таким образом, если для определенной длины волны равна что соответствует максимуму (так как в этом случае равен единице), то для длины волны, в 2 раза меньшей, уже равна что дает темноту (ибо в этом случае равен нулю). Этим и объясняются цвета, наблюдаемые при прохождении белого света сквозь описанную комбинацию из николей и кристаллической пластинки. Часть лучей, составляющих белый свет, гасится (это те, у которых близка к нулю или к четному числу ), другая же часть проходит, причем сильнее всего проходят лучи, у которых близка к нечетному числу . Например, проходят красные лучи, а ослабляются синие и зеленые или наоборот.
Поскольку в формулу для входит становится понятным, что изменение толщины должно вызывать изменение цвета лучей, прошедших сквозь систему. Если поместить между николями клин из кристалла, то в поле зрения будут наблюдаться полосы всех цветов, параллельные ребру клина, вызываемые непрерывным ростом его толщины.
Теперь разберем, что будет происходить с наблюдаемой картиной при вращении анализатора.
Повернем второй николь так, чтобы его главная плоскость стала параллельной главной плоскости первого николя. В этом случае на рис. 141 линия одновременно изображает обе главные плоскости. Так же, как и раньше,
Но сквозь анализатор теперь пройдут проекции и на
Мы получаем две неравные амплитуды, направленные в одну сторону. Без учета двойного лучепреломления результирующая амплитуда в этом случае равна просто , как и должно быть при параллельных поляризаторе и анализаторе. Учет разности фаз, возникающей в кристалле между и , приводит к следующей формуле для квадрата результирующей амплитуды:
Сравнивая формулы (21) и (23), мы видим, что 
т. е. сумма интенсивностей световых лучей, прошедших в этих двух случаях, равна интенсивности падающего луча. Отсюда следует, что картина, наблюдаемая во втором случае, является дополнительной к картине, наблюдаемой в первом случае.
Например, при и в монохроматическом свете скрещенные николи дадут свет, так как в этом случае , а параллельные - темноту, так как . В белом свете, если в первом случае проходят красные лучи, то во втором случае при повороте николя на 90° будут проходить зеленые лучи. Эта смена цветов на дополнительные очень эффектна, особенно когда интерференция наблюдается в кристаллической пластинке, составленной из кусочков различной толщины, дающих самые разнообразные цвета.
До сих пор, как мы уже указывали, речь шла о параллельном пучке лучей. Гораздо сложнее дело происходит при интерференции в сходящемся или расходящемся пучке лучей. Причиной усложнения служит то обстоятельство, что различные лучи пучка проходят различные толщины кристалла в зависимости от своего наклона. Мы остановимся здесь лишь на наиболее простом случае, когда ось конического пучка параллельна оптической оси кристалла; тогда только луч, идущий по оси, не претерпевает преломления; остальные лучи, наклонные к оси, в результате двойного лучепреломления разложатся каждый на обыкновенный и необыкновенный лучи (рис. 142). Ясно, что лучи, обладающие одинаковым наклоном, будут проходить одинаковые пути в кристалле. Следы этих лучей лежат на одной окружности.