Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение 
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
Определение 1
Гипербола в математике – это множество всех точек на плоскости, для любой из которых абсолютная разность расстояния между двумя точками $F_1$ и $F_2$, называемыми фокусами, всегда равна одному и тому же значению и равна $2a$.
Рисунок 1. Как выглядит гипербола: пример гиперболы
Свойства гиперболы
- Если точки $F_1$ и $F_2$ являются фокусами гиперболы, то касательная, проведённая через любую точку $A$, принадлежащую кривой, является биссектрисой угла $F_1AF_2$;
- Отношение расстояний от точки на гиперболе до фокуса и от этой же точки до директрисы – это константа, называемая эксцентриситетом $ε$;
- Гиперболе свойственна зеркальная симметричность относительно действительной и мнимой осей, а также вращательная к центру при повороте на 180°;
- Ограниченный действительными осями отрезок касательной, проведённой через точку $M$, делится пополам точкой $M$;
- У каждой гиперболы есть сопряжённая гипербола, которая располагается в незанятых четвертях графика.
Основные определения
- Ветви гиперболы – это две непересекающиеся кривые;
- Вершинами гиперболы называются две ближайшие точки на разных ветвях гиперболы;
- Формула для определения расстояния между вершинами гиперболы выглядит как $2\cdot a$;
- Большой действительной осью называется прямая, проложенная через две ближайшие точки на гиперболе. На половине этого расстояния расположен центр гиперболы;
- Полуосями гиперболы называется половина расстояния между вершинами гиперболы, формула для его определения $2\cdot a/2 = a$;
- Мнимая ось – это прямая, проложенная через центр гиперболы и перпендикулярная действительной оси;
- Геометрическое построение гиперболы производится по заданным вершинам и фокусам с помощью циркуля.
Уравнение гиперболы
Общая формула гиперболы и функция гиперболы описывается следующим уравнением: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ - положительные действительные числа.
Уравнение вырожденной гиперболы выглядит как уравнение двух асимтот к гиперболе: $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0$
Уравнение гиперболы со смещенным центром $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$, где $x_0, y_0$ - координаты центра гиперболы.
Для нахождения уравнения смещенной гиперболы по графику сначала определяют смещение центра относительно оси координат, оно равно координатам центра. Затем по асимтоптам определяют значения $a$ и $b$.
Определение 7.2. Геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, называют гиперболой .
Замечание 7.2. Говоря о разности расстояний, подразумевают, что из большего расстояния вычитается меньшее. Это значит, что на самом деле для гиперболы постоянным является модуль разности расстояний от любой ее точки до двух фиксированных точек. #
Определение гиперболы аналогично определению эллипса . Различие между ними лишь в том, что для гиперболы постоянна разность расстояний до фиксированных точек, а для эллипса - сумма тех же расстояний. Поэтому естественно, что у этих кривых много общего как в свойствах, так и в используемой терминологии.
Фиксированные точки в определении гиперболы (обозначим их F 1 и F 2) называют фокусами гиперболы . Расстояние между ними (обозначим его 2с) называют фокальным расстоянием , а отрезки F 1 M и F 2 M, соединяющие произвольную точку M на гиперболе с ее фокусами, - фокальными радиусами .
Вид гиперболы полностью определяется фокальным расстоянием |F 1 F 2 | = 2с и значением постоянной величины 2а, равной разности фокальных радиусов, а ее положение на плоскости - положением фокусов F 1 и F 2 .
Из определения гиперболы следует, что она, как и эллипс, симметрична относительно прямой, проходящей через фокусы, а также относительно прямой, которая делит отрезок F 1 F 2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.7). Первую из этих осей симметрии называют действительной осью гиперболы , а вторую - ее мнимой осью . Постоянную величину а, участвующую в определении гиперболы, называют действительной полуосью гиперболы .
Середина отрезка F 1 F 2 , соединяющего фокусы гиперболы, лежит на пересечении ее осей симметрии и поэтому является центром симметрии гиперболы, который называют просто центром гиперболы .
Для гиперболы действительная ось 2а должна быть не больше, чем фокальное расстояние 2с, так как для треугольника F 1 MF 2 (см. рис. 7.7) справедливо неравенство ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Равенство а = с выполнено только для тех точек M, которые лежат на действительной оси симметрии гиперболы вне интервала F 1 F 2 . Отбрасывая этот вырожденный случай, далее будем предполагать, что а
Уравнение гиперболы . Рассмотрим на плоскости некоторую гиперболу с фокусами в точках F 1 и F 2 и действительной осью 2а. Пусть 2с - фокальное расстояние, 2c = |F 1 F 2 | > 2а. Согласно замечанию 7.2, гипербола состоит из тех точек M(х; у), для которых | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2а. Выберем прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы центр гиперболы находился в начале координат , а фокусы располагались на оси абсцисс (рис. 7.8). Такую систему координат для рассматриваемой гиперболы называют канонической , а соответствующие переменные - каноническими .
В канонической системе координат фокусы гиперболы имеют координаты F 1 (c; 0) и F 2 (-с; 0). Используя формулу расстояния между двумя точками, запишем условие ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2а в координатах |√((х - с) 2 + у 2) - √((х + с) 2 + у 2)| = 2а, где (x; у) - координаты точки M. Чтобы упростить это уравнение, избавимся от знака модуля: √((х - с) 2 + у 2) - √((х + с) 2 + у 2) = ±2а, перенесем второй радикал в правую часть и возведем в квадрат: (х - с) 2 + у 2 = (х + с) 2 + у 2 ± 4а √((х + с) 2 + у 2) + 4а 2 . После упрощения получим -εх - а = ±√((х + с) 2 + у 2), или
√((х + с) 2 + у 2) = |εх + а| (7.7)
где ε = с/а. Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные члены: (ε 2 - 1)х 2 - у 2 = с 2 - а 2 , или, учитывая равенство ε = с/а и полагая b 2 = c 2 - a 2 ,
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (7.8)
Величину b > 0 называют мнимой полуосью гиперболы .
Итак, мы установили, что любая точка на гиперболе с фокусами F 1 (с;0) и F 2 (-с; 0) и действительной полуосью а удовлетворяет уравнению (7.8). Но надо также показать, что координаты точек вне гиперболы этому уравнению не удовлетворяют. Для этого мы рассмотрим семейство всех гипербол с данными фокусами F 1 и F 2 . У этого семейства гипербол оси симметрии являются общими. Из геометрических соображений ясно, что каждая точка плоскости (кроме точек, лежащих на действительной оси симметрии вне интервала F1F2, и точек, лежащих на мнимой оси симметрии) принадлежит некоторой гиперболе семейства, причем только одной, так как разность расстояний от точки до фокусов F 1 и F 2 меняется от гиперболы к гиперболе. Пусть координаты точки M(х; у) удовлетворяют уравнению (7.8), а сама точка принадлежит гиперболе семейства с некоторым значением ã действительной полуоси. Тогда, как мы доказали, ее координаты удовлетворяют уравнению 
Следовательно, система
двух уравнений с двумя неизвестными
имеет хотя бы одно решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при ã ≠ а это невозможно. Действительно, исключив, например, x из первого уравнения:
после преобразований получаем уравнение
которое при ã ≠ а не имеет решений, так как . Итак, (7.8) есть уравнение гиперболы с действительной полуосью а > 0 и мнимой полуосью b = √(с 2 - а 2) > 0. Его называют каноническим уравнением гиперболы .
Вид гиперболы. По своему виду гипербола (7.8) заметно отличается от эллипса. Учитывая наличие двух осей симметрии у гиперболы, достаточно построить ту ее часть, которая находится в первой четверти канонической системы координат. В первой четверти, т.е. при x ≥ 0, у ≥ 0, каноническое уравнение гиперболы однозначно разрешается относительно у:
у = b/a √(x 2 - а 2). (7.9)
Исследование этой функции y(x) дает следующие результаты.
Область определения функции - {x: x ≥ а} ив этой области определения она непрерывна как сложная функция, причем в точке x = а она непрерывна справа. Единственным нулем функции является точка x = а.
Найдем производную функции y(x): y"(x) = bx/a√(x 2 - а 2). Отсюда заключаем, что при x > а функция монотонно возрастает. Кроме того, 
, а это означает, что в точке x = a пересечения графика функции с осью абсцисс существует вертикальная касательная. Функция y(x) имеет вторую производную y" = -ab(x 2 - а 2) -3/2 при x > а, и эта производная отрицательна. Поэтому график функции является выпуклым вверх, а точек перегиба нет.
Указанная функция имеет наклонную асимптоту, это вытекает из существования двух пределов:
Наклонная асимптота описывается уравнением y = (b/a)x.
Проведенное исследование функции (7.9) позволяет построить ее график (рис. 7.9), который совпадает с частью гиперболы (7.8), содержащейся в первой четверти.
Так как гипербола симметрична относительно своих осей, вся кривая имеет вид, изображенный на рис. 7.10. Гипербола состоит из двух симметричных ветвей, расположенных по разные
стороны от ее мнимой оси симметрии. Эти ветви не ограничены с обеих сторон, причем прямые у = ±(b/a)x являются одновременно асимптотами и правой и левой ветвей гиперболы.
Оси симметрии гиперболы различаются тем, что действительная пересекает гиперболу, а мнимая, будучи геометрическим местом точек, равноудаленных от фокусов, - не пересекает (поэтому ее и называют мнимой). Две точки пересечения действительной оси симметрии с гиперболой называют вершинами гиперболы (точки A(a; 0) и B(-a; 0) на рис. 7.10).
Построение гиперболы по ее действительной (2a) и мнимой (2b) осям следует начинать с прямоугольника с центром в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными, соответ-ственно, действительной и мнимой осям симметрии гиперболы (рис. 7.11). Асимптоты гиперболы являются продолжениями диагоналей этого прямоугольника, а вершины гиперболы - точками пересечения сторон прямоугольника с действительной осью симметрии. Отметим, что прямоугольник и его положение на плоскости однозначно определяют форму и положение гиперболы. Отношение b/a сторон прямоугольника определяет степень сжатости гиперболы, но вместо этого параметра обычно используют эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситетом гиперболы называют отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Эксцентриситет обозначают через ε. Для гиперболы, описываемой уравнением (7.8), ε = c/a. Отметим, что если эксцентриситет эллипса может принимать значения из полуинтервала }