Как составить уравнения прямой в пространстве?
УравнениЯ прямой в пространстве
Аналогично «плоской» прямой, существует несколько способов, которыми мы можем задать прямую в пространстве. Начнём с канонов – точки и направляющего вектора прямой:
Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами :
Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю . Что делать, если одна или две координаты нулевые, мы рассмотрим чуть позже.
Как и в статье Уравнение плоскости , для простоты будем считать, что во всех задачах урока действия проводятся в ортонормированном базисе пространства.
Пример 1
Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение
: Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Ответ
: 
И ежу понятно… хотя, нет, ежу не понятно вообще ничего.
Что следует отметить в этом очень простом примере? Во-первых, полученные уравнения НЕ НАДО сокращать на единицу: 
. Сократить, точнее, можно, но это непривычно режет глаз и создаёт неудобства в ходе решения задач.
А во-вторых, в аналитической геометрии неизбежны две вещи – это проверка и зачёт:
На всякий случай смотрим на знаменатели уравнений и сверяемся – правильно ли там записаны координаты направляющего вектора . Нет, не подумайте, у нас не урок в детском садике «Тормозок». Данный совет очень важен, поскольку позволяет полностью исключить ошибку по невнимательности. Никто не застрахован, а вдруг неправильно переписали? Наградят премией Дарвина по геометрии.
Получены верные равенства, значит, координаты точки удовлетворяют нашим уравнениям, и сама точка действительно принадлежит данной прямой.
Проверка очень легко (и быстро!) выполняется устно.
В ряде задач требуется найти какую-нибудь другую точку , принадлежащую данной прямой. Как это сделать?
Берём полученные уравнения и мысленно «отщипываем», например, левый кусочек: . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу
(помним, что ноль уже был), например, к единице: . Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему:
Проверим, удовлетворяет ли найденная точка уравнениям :
Получены верные равенства, значит, точка действительно лежит на данной прямой.
Выполним чертёж в прямоугольной системе координат. Заодно вспомним, как правильно откладывать точки в пространстве:
Строим точку :
– от начала координат в отрицательном направлении оси откладываем отрезок первой координаты (зелёный пунктир);
– вторая координата нулевая, поэтому «не дёргаемся» с оси ни влево, ни вправо;
– в соответствие с третьей координатой отмеряем три единицы вверх (фиолетовый пунктир).
Строим точку : отмеряем две единицы «на себя» (желтый пунктир), одну единицу вправо (синий пунктир) и две единицы вниз (коричневый пунктир). Коричневый пунктир и сама точка наложились на координатную ось, обратите внимание, что они находятся в нижнем полупространстве и ПЕРЕД осью .
Сама прямая проходит над осью и, если меня не подводит глазомер, над осью . Не подводит, убедился аналитически. Если бы прямая проходила ЗА осью , то следовало бы стереть ластиком частичку линии сверху и снизу точки скрещивания.
У прямой бесконечно много направляющих векторов, например:
(красная стрелка)
Получился в точности исходный вектор , но это чистая случайность, такую уж я выбрал точку . Все направляющие векторы прямой коллинеарны, и их соответствующие координаты пропорциональны (более подробно – см. Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
). Так, векторы 
тоже будут направляющими векторами данной прямой.
Дополнительную информацию о построении трёхмерных чертежей на клетчатой бумаге можно найти в начале методички Графики и свойства функций . В тетради разноцветные пунктирные дорожки к точкам (см. чертёж) обычно тонко прочерчивают простым карандашом тем же пунктиром.
Разберёмся с частными случаями, когда одна или две координаты направляющего вектора нулевые. Попутно продолжаем тренировку пространственного зрения, которая началась в начале урока Уравнение плоскости
. И вновь я расскажу вам сказку о голом короле – нарисую пустую систему координат и буду убеждать вас, что там есть пространственные прямые =)
Проще перечислить все шесть случаев:
1) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на три отдельных уравнения: .
Или короче:
Пример 2 : составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Что это за прямая? Направляющий вектор прямой коллинеарен орту , значит, данная прямая будет параллельна оси . Канонические уравнения следует понимать так:
а) – «игрек» и «зет» постоянны
, равны конкретным числам
;
б) переменная «икс» может принимать любые значения: (на практике данное уравнение, как правило, не записывают).
В частности, уравнения задают саму ось . Действительно, «икс» принимает любое значение, а «игрек» и «зет» всегда равны нулю.
Рассматриваемые уравнения можно интерпретировать и другим образом: посмотрим, например, на аналитическую запись оси абсцисс: . Ведь это уравнения двух плоскостей! Уравнение задаёт координатную плоскость , а уравнение – координатную плоскость . Правильно думаете – данные координатные плоскости пересекаются по оси . Способ, когда прямая в пространстве задаётся пересечением двух плоскостей, мы рассмотрим в самом конце урока.
Два похожих случая:
2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .
Такие прямые будут параллельны координатной оси . В частности, уравнения задают координатную саму ось ординат.
3) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .
Данные прямые параллельны координатной оси , а уравнения задают саму ось аппликат.
Загоним в стойло вторую тройку:
4) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на пропорцию и уравнение плоскости .
Пример 3 : составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору .
Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения, определяющие прямую, проходящую через заданную точку коллинеарно направляющему вектору.
Пусть дана точка и направляющий вектор . Произвольная точка лежит на прямой l только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. для них выполняется условие:
.
Приведённые выше уравнения и есть канонические уравнения прямой.
Числа m , n и p являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор ненулевой, то все числа m , n и p не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю. В аналитической геометрии допускается, например, такая запись:
,
которая означает, что проекции вектора на оси Oy и Oz равны нулю. Поэтому и вектор , и прямая, заданная каноническими уравнениями, перпендикулярны осям Oy и Oz , т. е. плоскости yOz .
Пример 1.
Составить уравнения прямой в пространстве,
перпендикулярной плоскости 
и проходящей через точку пересечения этой плоскости с осью Oz
.
Решение. Найдём точку пересечения данной плоскости с осью Oz
. Так как любая точка, лежащая на оси Oz
, имеет координаты , то, полагая в заданном уравнении плоскости x = y =
0
, получим 4z
- 8 = 0
или z
= 2
. Следовательно, точка пересечения данной плоскости с осью Oz
имеет координаты (0; 0; 2)
. Поскольку искомая прямая перпендикулярна плоскости, она параллельна вектору её нормали . Поэтому направляющим вектором прямой может служить вектор нормали 
заданной плоскости.
Теперь запишем искомые уравнения прямой, проходящей через точку A = (0; 0; 2) в направлении вектора :
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Прямая может быть задана двумя лежащими на ней точками 
и 
В этом случае направляющим вектором прямой может служить вектор . Тогда канонические уравнения прямой примут вид
.
Приведённые выше уравнения и определяют прямую, проходящую через две заданные точки.
Пример 2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки и .
Решение. Запишем искомые уравнения прямой в виде, приведённом выше в теоретической справке:
.
Так как , то искомая прямая перпендикулярна оси Oy .
Прямая как линия пересечения плоскостей
Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и , т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений
Уравнения системы называются также общими уравнениями прямой в пространстве.
Пример 3. Составить канонические уравнения прямой в пространстве, заданной общими уравнениями
Решение. Чтобы написать канонические уравнения прямой или, что то же самое, уравнения прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например yOz и xOz .
Точка пересечения прямой с плоскостью yOz имеет абсциссу x = 0 . Поэтому, полагая в данной системе уравнений x = 0 , получим систему с двумя переменными:
Её решение y = 2 , z = 6 вместе с x = 0 определяет точку A (0; 2; 6) искомой прямой. Полагая затем в заданной системе уравнений y = 0 , получим систему
Её решение x = -2 , z = 0 вместе с y = 0 определяет точку B (-2; 0; 0) пересечения прямой с плоскостью xOz .
Теперь запишем уравнения прямой, проходящей через точки A (0; 2; 6) и B (-2; 0; 0) :
,
или после деления знаменателей на -2:
,
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите координаты любой точки прямой, заданной в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей 
.
Решение.
Перепишем систему уравнений в следующем виде
В качестве базисного минора основной матрицы системы возьмем отличный от нуля минор второго порядка 
, то есть, z
– свободная неизвестная переменная. Перенесем слагаемые, содержащие z
, в правые части уравнений: .
Примем , где - произвольное действительное число, тогда .
Решим полученную систему уравнений :
Таким образом, общее решение системы уравнений имеет вид , где .
Если взять конкретное значение параметра , то мы получим частное решение системы уравнений, которое нам дает искомые координаты точки, лежащей на заданной прямой. Возьмем , тогда 
, следовательно, - искомая точка прямой.
Можно выполнить проверку найденных координат точки, подставив их в исходые уравнения двух пересекающихся плоскостей:
Ответ:
Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости.
В прямоугольной системе координат от прямой линии неотделим направляющий вектор прямой . Когда прямая а в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей и , то координаты направляющего вектора прямой не видны. Сейчас мы покажем, как их определять.
Мы знаем, что прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этими фактами и воспользуемся при нахождении направляющего вектора прямой.
Прямая а
лежит как в плоскости , так и в плоскости . Следовательно, направляющий вектор прямой а
перпендикулярен и нормальному вектору 
плоскости , и нормальному вектору 
плоскости . Таким образом, направляющим вектором прямой а
является и :
Множество всех направляющих векторов прямой а
мы можем задать как 
, где - параметр, принимающий любые действительные значения, отличные от нуля.
Пример.
Найдите координаты любого направляющего вектора прямой, которая задана в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей 
.
Решение.
Нормальными векторами плоскостей и являются векторы 
и 
соответственно. Направляющим вектором прямой, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, примем векторное произведение нормальных векторов:
Ответ:
Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве.
Бывают случаи, в которых использование уравнений двух пересекающихся плоскостей для описания прямой не совсем удобно. Некоторые задачи проще решаются, если известны канонические уравнения прямой в пространстве вида 
или параметрические уравнения прямой в пространстве вида 
, где x 1
, y 1
, z 1
- координаты некоторой точки прямой, a x
, a y
, a z
- координаты направляющего вектора прямой, а - параметр, принимающий произвольные действительные значения. Опишем процесс перехода от уравнений прямой вида 
к каноническим и параметрическим уравнениям прямой в пространстве.
В предыдущих пунктах мы научились находить координаты некоторой точки прямой, а также координаты некоторого направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Этих данных достаточно, чтобы записать и канонические и параметрические уравнения этой прямой в прямоугольной системе координат в пространстве.
Рассмотрим решение примера, а после этого покажем еще один способ нахождения канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.
Пример.
Решение.
Вычислим сначала координаты направляющего вектора прямой. Для этого найдем векторное произведение нормальных векторов 
и 
плоскостей 
и 
:
То есть, .
Теперь определим координаты некоторой точки заданной прямой. Для этого найдем одно из решений системы уравнений 
.
Определитель 
отличен от нуля, возьмем его в качестве базисного минора основной матрицы системы. Тогда переменная z
является свободной, переносим слагаемые с ней в правые части уравнений, и придаем переменной z
произвольное значение :
Решаем методом Крамера полученную систему уравнений:
Следовательно,
Примем , при этом получаем координаты точки прямой: 
.
Теперь мы можем записать требуемые канонические и параметрические уравнения исходной прямой в пространстве:
Ответ:
и 
Вот второй способ решения этой задачи.
При нахождении координат некоторой точки прямой мы решаем систему уравнений . В общем случае ее решения можно записать в виде .
А это как раз искомые параметрические уравнения прямой в пространстве. Если каждое из полученных уравнений разрешить относительно параметра и после этого приравнять правые части равенств, то получим канонические уравнения прямой в пространстве
Покажем решение предыдущей задачи по этому методу.
Пример.
Прямая в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей . Напишите канонические и параметрические уравнения этой прямой.
Решение.
Решаем данную систему из двух уравнений с тремя неизвестными (решение приведено в предыдущем примере, не будем повторяться). При этом получаем . Это и есть искомые параметрические уравнения прямой в пространстве.
Осталось получить канонические уравнения прямой в пространстве:
Полученные уравнения прямой внешне отличаются от уравнений, полученных в предыдущем примере, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства (а значит, одну и ту же прямую).
Ответ:
и 
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор
а =/= 0, коллинеарный прямой l , называется направляющим вектором этой прямой.
Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.
Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M 0 , а М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow{M_0 M}\) коллинеарен вектору а , т. е.
\(\overrightarrow{M_0 M}\) = ta , t \(\in \) R . (1)
Если точки М и M 0 заданы своими радиус-векторами r и r 0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow{M_0 M}\) = r - r 0 , и уравнение (1) принимает вид
r = r 0 + ta , t \(\in \) R . (2)
Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром .
Пусть точка M 0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:
M 0 (х 0 ; у 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).
Тогда, если (х; у; z ) - координаты произвольной точки М прямой l , то
\(\overrightarrow{M_0 M} \) = (х - х 0 ; у - у 0 ; z - z 0)
и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:
х - х 0 = tа 1 , у - у 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3
$$ \begin{cases} x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end{cases} (3)$$
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M 0 (-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).
В данном случае х 0 = -3, у 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой
$$ \begin{cases} x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end{cases} $$
Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.
Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда
$$ t=\frac{x-x_0}{a_1},\;\;t=\frac{y-y_0}{a_2},\;\;t=\frac{z-z_0}{a_3} $$
и, следовательно,
$$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} \;\; (4)$$
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой .
Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.
Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а , например а 1 равна нулю, то, исключив параметр t , снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z :
\(x=x_0, \;\; \frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)
\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) параллельно координатной плоскости yOz , так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а 2 ; а 3).
Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а , например а 1 и а 2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид
х = х 0 , y = у 0 , z = z 0 + ta 3 , t \(\in \) R .
Это уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) параллельно оси Oz . Для такой прямой х = х 0 , y = у 0 , a z - любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)
\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{0}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а 1 , а 2 , а 3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.
Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).
Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:
\(\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-7}{3}\)
Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и
M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1), а за точку М 0 , через которую проходит прямая, например, точку M 1 . Тогда уравнения (4) запишутся так:
\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}=\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{z-z_1}{z_2 - z_1}\) (5)
Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и
M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2).
Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).
В данном случае х 1 = -4, у 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, у 2 = 0, z 2 = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим
\(\frac{x+4}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+3}{6}\)
Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (3; -2; 1) и
M 2 (5; -2; 1 / 2).
После подстановки координат точек M 1 и M 2 в уравнения (5) получим
\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}\)
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована Oxyz
. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве : укажем точку, через которую проходит прямая a
, и направляющий вектор прямой a
. Будем считать, что точка лежит на прямой а
и 
- направляющий вектор прямой а
.
Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Обратите внимание на следующие важные факты:
Приведем пару примеров канонических уравнений прямой в пространстве:
Составление канонических уравнений прямой в пространстве.
Итак, канонические уравнения прямой в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве вида 
соответствуют прямой линии, которая проходит через точку , а направляющим вектором этой прямой является вектор . Таким образом, если нам известен вид канонических уравнений прямой в пространстве, то мы можем сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой, а если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки этой прямой, то мы сразу можем записать ее канонические уравнения.
Покажем решения таких задач.
Пример.
Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве задана каноническими уравнениями прямой вида 
. Напишите координаты всех направляющих векторов этой прямой.
Решение.
Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой, то есть, 
- один из направляющих векторов исходной прямой. Тогда множество всех направляющих векторов прямой можно задать как 
, где - параметр, принимающий любые действительные значения, кроме нуля.
Ответ:
Пример.
Напишите канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz
в пространстве проходит через точку 
, а направляющий вектор прямой имеет координаты .
Решение.
Из условия имеем . То есть, у нас есть все данные, чтобы написать требуемые канонические уравнения прямой в пространстве. В нашем случае
.
Ответ:
Мы рассмотрели простейшую задачу на составление канонических уравнений прямой в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты направляющего вектора прямой и координаты некоторой точки прямой. Однако намного чаще встречаются задачи, в которых сначала требуется найти координаты направляющего вектора прямой, а уже потом записывать канонические уравнения прямой. В качестве примера можно привести задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой и задачи на нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной плоскости .
Частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
Мы уже отмечали, что одно или два из чисел в канонических уравнениях прямой в пространстве вида 
могут быть равны нулю. Тогда запись считается формальной (так как в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и ее следует понимать как 
, где .
Давайте рассмотрим подробнее все эти частные случаи канонических уравнений прямой в пространстве.
Пусть 
, или 
, или 
, тогда канонические уравнения прямых имеют вид
или
или
В этих случаях в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве прямые лежат в плоскостях , или соответственно, которые параллельны координатным плоскостям Oyz , Oxz или Oxy соответственно (или совпадают с этими координатными плоскостями при , или ). На рисунке представлены примеры таких прямых.
При 
, или 
, или 
канонические уравнения прямых запишутся как
или
или
соответственно.
В этих случаях прямые параллельны координатным осям Oz , Oy или Ox соответственно (или совпадают с этими осями при , или ). Действительно, направляющие векторы рассматриваемых прямых имеют координаты , или , или , очевидно, что они коллинеарны векторам , или , или соответственно, где - направляющие векторы координатных прямых. Посмотрите иллюстрации к этим частным случаям канонических уравнений прямой в пространстве.
Осталось для закрепления материала этого пункта рассмотреть решения примеров.
Пример.
Напишите канонические уравнения координатных прямых Ox , Oy и Oz .
Решение.
Направляющими векторами координатных прямых Ox
, Oy
и Oz
являются координатные векторы 
и соответственно. Кроме этого, координатные прямые проходят через начало координат – через точку . Теперь мы можем записать канонические уравнения координатных прямых Ox
, Oy
и Oz
, они имеют вид 
и соответственно.
Ответ:
Канонические уравнения координатной прямой Ox , - канонические уравнения оси ординат Oy , - канонические уравнения оси аппликат.
Пример.
Составьте канонические уравнения прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz
в пространстве проходит через точку 
и параллельна оси ординат Oy
.
Решение.
Так как прямая, канонические уравнения которой нам требуется составить, параллельна координатной оси Oy , то ее направляющим вектором является вектор . Тогда канонические уравнения этой прямой в пространстве имеют вид .
Ответ:
Канонические уравнения прямой проходящей через две заданные точки пространства.
Поставим себе задачу: написать канонические уравнения прямой, проходящей в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве через две несовпадающие точки и 
.
В качестве направляющего вектора заданной прямой можно принять вектор (если больше нравиться вектор , то можно взять его). По известным координатам точек М 1
и М 2
можно вычислить координаты вектора : . Теперь мы можем записать канонические уравнения прямой, так как знаем координаты точки прямой (в нашем случае даже координаты двух точек М 1
и М 2
), и знаем координаты ее направляющего вектора. Таким образом, заданная прямая в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве определяется каноническими уравнениями вида 
или 
. Это и есть искомые канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства
.
Пример.
Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через две точки трехмерного пространства 
и 
.
Решение.
Из условия имеем . Подставляем эти данные в канонические уравнения прямой, проходящей через две точки :
Если воспользоваться каноническими уравнениями прямой вида , то получаем
.
Ответ:
или 
Переход от канонических уравнений прямой в пространстве к другим видам уравнений прямой.
Для решения некоторых задач канонические уравнения прямой в пространстве могут оказаться менее удобны, чем параметрические уравнения прямой в пространстве вида . А иногда предпочтительнее определить прямую линию в прямоугольной системе координат Oxyz
в пространстве через уравнения двух пересекающихся плоскостей как 
. Поэтому встает задача перехода от канонических уравнений прямой в пространстве к параметрическим уравнениям прямой или к уравнениям двух пересекающихся плоскостей.
От уравнений прямой в каноническом виде легко перейти к параметрическим уравнениям этой прямой. Для этого требуется каждую из дробей в канонических уравнениях прямой в пространстве принять равной параметру и разрешить полученные уравнения относительно переменных x
, y
и z
:
При этом параметр может принимать любые действительные значения (так как переменные x , y и z могут принимать какие угодно действительные значения).
Теперь покажем, как из канонических уравнений прямой получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих эту же прямую.
Двойное равенство по сути представляет собой систему из трех уравнений вида 
(мы попарно приравняли дроби из канонических уравнений прямой). Так как пропорцию мы понимаем как , то
Итак, мы получили 
.
Так как числа a x
, a y
и a z
одновременно не равны нулю, то основной матрицы полученной системы равен двум, так как 
а хотя бы один из определителей второго порядка
отличен от нуля.
Следовательно, из системы можно исключить уравнение, которое не участвует в образовании базисного минора. Таким образом, канонические уравнения прямой в пространстве будут эквивалентны системе из двух линейных уравнений с тремя неизвестными, которые и являются уравнениями пересекающихся плоскостей, причем линией пересечения этих плоскостей будет прямая, определяемая каноническими уравнениями прямой вида .
Для ясности приведем подробное решение примера, на практике все проще.
Пример.
Напишите уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве каноническими уравнениями прямой. Напишите уравнения двух пересекающихся по этой прямой плоскостей.
Решение.
Приравняем попарно дроби, образующие канонические уравнения прямой:
Определитель основной матрицы полученной системы линейных уравнений равен нулю (при необходимости обращайтесь к статье ), а минор второго порядка 
отличен от нуля, примем его в качестве базисного минора. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений 
равен двум, причем третье уравнение системы не участвует в образовании базисного минора, то есть, третье уравнение можно исключить из системы. Следовательно, 
. Так мы получили требуемые уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих исходную прямую линию.
Ответ:
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.