Свойства функции распределения : 1) Функция распределения удовлетворяет неравенству: 0≤F(x)≤1 ; 2) Функция распределения является неубывающей функцией, т.е. из х 2> х 1 следует F(x2)≥F(x1). 3)Функция распределения стремится к 0 при неограниченном убывании еаргумента и стремится к 1 при его неограниченном возрастании.
График функции распределения
11.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятности) f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная функции распределения F(x) этой величины: f(x)=F’(x)
Свойства
плотности распределения вероятностей:
1)
Плотность вероятности является
неотрицательной функцией: f(x)≥0;
2)
Вероятность того, что в результате
испытания непрерывная случайная величина
примет какие либо значения из интервала
(a,b)
равна:
3)
Определенный интеграл в пределах от
–бесконечности до + бесконечности от
плотности вероятности непрерывной
случайной величины равен единице:
4)
Определенный
интеграл в пределах от минус бесконечности
до х от плотности вероятности непрерывной
случайной величины равен функции
распределения этой величины:
Под основными числовыми характеристиками непрерывной случайной величины понимают, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Математическое
ожидание непрерывной случайной величины:
Дисперсия непрерывной случайной величины D (X ) = M [ X – M (X )] 2 . (добавить)
Среднее квадратическое отклонение: σ(х)= √D(X)
12. Нормальный закон распределения. Вероятность попадения нормально распределенной случайнойвеличиныв заданный интервал.Правило трех сигм.
Из
всех видов распределения непрерывных
случайных величин наиболее часто
используют нормальное
распределение
,
которое задается законом
Гаусса.
Так,
если мы имеем сумму большого числа
независимых величин, подчиненных каким
угодно законам распределения, то при
некоторых общих условиях она будет
приближенно подчиняться нормальному
закону. Непрерывная случайная величина
называется
распределенной по нормальному закону,
если ее
плотность вероятности имеет вид:
(увеличить,дописать), где М-математическое
ожидание,
σ
в квадрате – дисперсия,
σ-среднее
квадратическое отклонение этой
величины.это кривая Гаусса:
Подставив
выражение
для плотности вероятности нормально
распределенной случайной величины в
выражение
,
получим вероятность того, что в результате
испытания нормально распределенная
случайная величина
примет значение из заданного интервала: P (a < X < b ) =____________________
Правило трех сигм : отклонения значений нормального распределения случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине практически не превышает ее утроенного среднего квадратического отклонения.
В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.
Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(aX
Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0 Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb. График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице: Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения: Найти функцию распределения и построить ее график. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x) Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: Свойства плотности распределения вероятностей:
1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0. Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х Решение: Искомая вероятность: Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл: M(x)=xf(x)dx (9) Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то: M(x)=xf(x)dx (10) Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством: P{X e (X)}=P{X>M e (X)} ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то: D(x)= 2 f(x)dx (11) Если возможные значения принадлежат всей оси х, то. Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x)
. Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b
]. Определение.
Математическим ожиданием
непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится. Определение.
Дисперсией
непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: Определение.
Средним квадратичным отклонением
называется квадратный корень из дисперсии. Определение.
Модой
М 0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум. Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным
или многомодальным
. Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным
. Определение.
Медианой
M D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины. Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием. Определение.
Начальным моментом
порядка k
случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х k
. Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию. Определение.
Центральным моментом
порядка k
случайной величины Х называется математическое ожидание величины Для дискретной случайной величины: . Для непрерывной случайной величины: . Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения. Определение.
Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии
. Определение.
Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом
. Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты: Абсолютный начальный момент: . Абсолютный центральный момент: . Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением
. Пример.
Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Пример.
В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию. Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте). Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз. Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий. 1) Белый шар не появился вовсе: 2) Белый шар появился один раз: 3) Белый шар появиться два раза: . Непрерывные случайные величины имеют бесконечное число возможных значений. Поэтому ввести для них ряд распределения нельзя. Вместо вероятности того, что случайная величина Х примет значение, равное х, т.е. p(X = x), рассматривают вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем х, т.е. Р(Х < х). Введем новую характеристику случайных величин - функцию распределения и рассмотрим ее свойства. Функция распределения - самая универсальная характеристика случайной величины. Она может быть определена как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин: F(x) = p(X < x). Свойства функции распределения. Функция распределения является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. если: На минус бесконечности функция распределения равна нулю: На плюс бесконечности функция распределения равна единице: Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал определяется формулой: Функция f(x), равная производной от функции распределения, называется плотностью вероятности случайной величины Х или плотностью распределения: Выразим вероятность попадания на участок б до в через f(x). Она равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е. интегралу: Отсюда можно выразить функцию распределения через плотность вероятности: Свойства плотности вероятности. Плотность вероятности является неотрицательной функцией (так как функция распределения является неубывающей функцией): Плотность вероятно сти является непрерывной функцией. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен 1: Плотность вероятности имеет размерность случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и в случае дискретных случайных величин. Меняется вид формул для их нахождения путем замены: Тогда получаем формулы для расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины: Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением: Найти величину a, плотность вероятности, вероятность попадания на участок (0,25-0,5), математическое ожидание и дисперсию. Так как функция распределения F(x) непрерывна, то при х = 1 ax2 = 1, следовательно, a = 1. Плотность вероятности находится, как производная от функции распределения: Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено двумя способами: с помощью функции распределения и с помощью плотности вероятности. Находим математическое ожидание: Находим дисперсию: Равномерное распределение Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой лежат в некотором интервале и равновероятны. Плотность вероятности такой случайной величины будет иметь вид: где с - некоторая постоянная. График плотности вероятности изобразится следующим образом: Выразим параметр с через б и в. Для этого используем тот факт, что интеграл от плотности вероятности по всей области должен быть равен 1: Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины Найдем функцию распределения: Функция распределения равномерно распределенной случайной величины Построим график функции распределения: Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению. Тогда среднеквадратичное отклонение будет иметь вид: Нормальное (Гауссово) распределение Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами a, у > 0, если она имеет плотность вероятности: Кривая распределение случайной величины, имеет вид: Контрольная работа 2 Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 1 ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х - числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 2 В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар. Найти закон распределения случайной величины Х - числа очков на нем. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 3 Охотник стреляет по дичи до попадания, но может сделать не более трех выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х - числа выстрелов сделанных стрелком. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 4 Вероятность превысить заданную точность при измерении равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х - число ошибок при 10 измерениях. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 5 Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,45. Произведено 20 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х - числа попаданий. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 6 Изделия некоторого завода содержит 5% брака. Составить закон распределения случайной величины Х - числа бракованных изделий среди пяти взятых на удачу. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 7 Нужные сборщику детали находятся в трех из пяти ящиков. Сборщик вскрывает ящики до тех пор пока не найдет нужные детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа вскрытых ящиков. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 8 В урне 3 черных и 2 белых шара. Производится последовательное без возвращения извлечение шаров до появления черного. Составить закон распределения случайной величины Х - числа извлеченных шаров. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 9 Студент знает 15 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Составить закон распределения случайной величины Х - числа известных студенту вопросов в билете. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 10 Имеется 3 лампочки, каждая из которых с вероятностью 0,4 имеет дефект. При включении дефектная лампочка перегорает и заменяется другой. Составить закон распределения случайной величины Х - числа испробованных ламп. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (б, в). Построить графики функций F(X) и f(X). Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вопросы к экзамену Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Размещение. Примеры. Элементы комбинаторики. Перестановка. Примеры. Элементы комбинаторики. Сочетания. Примеры. Теорема о сумме вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Операции над событиями. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Пример. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Биномиальное распределение случайной величины. Распределение Пуассона. Распределение по закону геометрической прогрессии. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Плотность вероятности и ее свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Дисперсия непрерывной случайной величины. Равномерное распределение непрерывной случайной величины. Нормальный закон распределения. По своей физической природе случайные величины могут быть детерминированными и случайными. Дискретной называют случайную величину, отдельные значения которой можно перенумеровать (число изделий, количество деталей – бракованных и годных и т.п.). Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой заполняют некоторый промежуток (отклонение размера изготовленной детали от номинала, погрешность измерения, величина отклонения формы детали, высота микронеровностей и т.п.). Случайная величина не может характеризоваться каким-то одним значением. Для неё необходимо указать множество возможных значений и вероятностные характеристики, заданные на этом множестве. В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной
называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Выпадение некоторого значения случайной величины Х
это случайное событие: Х = х i .
Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной случайной величиной
называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.
Непрерывной случайной величиной
называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.
Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х
– действительное число и получена случайная величина X
, при этом x > X
. Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х
будет меньше этого фиксированного значения х
. Функцией распределения случайной величины
Х
называется функция F(х)
, определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть: Случайная величина характеризуется в теории вероятностей законом ее распределения
. Этот закон устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностям их появления. Существует две формы описания закона распределения случайной величины - дифференциальная и интегральная
. Причем, в метрологии в основном используется дифференциальная форма - закон распределения плотности вероятностей
случайной величины. Дифференциальный закон распределения
характеризуетсяплотностью распределения вероятностей f(x)
случайной величиных
. Вероятность Р
попадания случайной величины в интервал от х 1
до х 2
при этом дается формулой: Графически эта вероятность представляет собой отношение площади под кривой f(x) в интервале от х 1 до х 2 к общей площади, ограниченной всей кривой распределения. Как правило, площадь под всей кривой распределения вероятностей нормируют на единицу.
В данном случае представлено распределение непрерывной
случайной величины. Кроме них существуют и дискретные
случайные величины, принимающие ряд определенных значений, которые можно пронумеровать.
Интегральный закон распределения случайной величины
представляет собой функцию F(x),
определяемую формулой Вероятность, что случайная величина будет меньше х 1 дается значением функции F(х) при х = х 1:
Хотя закон распределения случайных величин является их полной вероятностной характеристикой, нахождение этого закона является довольно трудной задачей и требует проведения многочисленных измерений. Поэтому на практике для описания свойств случайной величины используют различные числовые характеристики распределений
. К ним относятся моменты
слу-чайных величин: начальные и центральные
, которые представляют собой некоторые средние значения
. При этом если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называются начальными
, а если от центра распределения – то центральными
.
Справедливы следующие предельные соотношения: 
Рисунок-1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:
Рисунок-2
(8)
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)
